루이스 캐럴의 패러독스.

논리 역시 증명 불가능한 것으로 이루어져 있다.

 루이스 캐럴 (Lewis Carroll, 1832.1.27~1898.1.14)

 공리란, ‘증명 불가능한 암묵적인 이해’다. 모든 이론 체계(과학, 수학, 철학 등)는 몇 개의 공리로부터 논리적으로 도출된 구축물이다. 하지만, 《이상한 나라의 앨리스》의 작가인 루이스 캐럴은 자신의 작품 안에서 ‘논리조차 공리(암묵적인 이해)에 지나지 않는다.’고 서술하고 있다. 다음은 그 내용의 요약이다.

 아킬레스는 머리가 나쁜 거북이에게 어떤 명제가 논리적으로 올바르다는 것을 설명하고 있었다.

 전제 1   A = B 이다.

 전제 2   B = C 이다.

             ↓

 결론      A = C 이다.

 아킬레스 “바로 이런 얘기지. 결국 논리적으로 이렇게 되는 거야.”

 거북이 “음……, 잘 모르겠어.”

 아킬레스 “논리적으로 생각하면 틀림없이 이렇게 되겠지!”

 거북이 “어째서 틀림없다고 할 수 있지? 나도 그렇게 바보는 아니야. A=B는 알겠어. B=C도 알겠어. 그런데 A=B, B=C라면 어째서 A=C가 되는 거야? 아무 필연성도 없잖아. 잘 설명해봐.”

 아킬레스 “그러니까 A=B, B=C가 올바르다면 A=C가 성립된다고!”

 거북이 “그런 말은 어디에도 쓰여 있지 않잖아. 그런 전제가 있다면 그것을 제대로 추가해봐.”

 아킬레스는 어쩔 수 없이 그것을 추가한다.

 전제 1   A = B 이다.

 전제 2   B = C 이다.

 전제 3   전제1, 전제 2가 올바를 때 A=C가 성립된다.

            ↓

 결론      A = C 이다.

 아킬레스 “어때? 이제 알겠지!”

 거북이 “어, 그래도 아까하고 똑같잖아. 전제 1,2,3은 따로따로는 이해가 돼. 하지만 그래서 왜 A=C가 되는지 모르겠다고.”

 아킬레스 “그러니까, 논리적으로 생각하면 그렇게 되잖아!”

 거북이 “왜? 논리적이니까라는 이유 말고 제대로 설명을 좀 해봐.”

 아킬레스 “잘 봐! ‘전제 1, 전제 2가 올바를 때 A=C가 성립된다.’고 전제 3에서 말했잖아!”

 거북이 “그래 맞아. 전제 1과 전제 2가 올바르다는 조건이 붙으면 A=C가 되는 거지.”

 아킬레스 “그래.”

 거북이 “그럼, 그렇게 되면 말야. 전제 1과 2,3 모두가 올바르게 성립될 때 비로서 A=C가 된다고 할 수 있는 거 아냐?

 아킬레스 “아…… 뭐, 그야 그렇겠지.”

 거북이 “그럼 아까하고 똑같잖아. 그런 말은 어디에도 쓰여 있지 않아. 엄밀히 더 잘 설명해줘. 그것이 논리적인 거 아냐?

 아킬레스 “…….”

 이렇게 해서 아킬레스는 ‘전제 1, 전제 2, 전제 3이 성립된다면 A=C가 성립된다.’는 새로운 전제 4를 추가하는 꼴이 되어 그것이 영원히 반복되었다.

 루이스 캐럴의 이야기는 ‘A=B, B=C라면 A=C’같은 기본적인 논리에 대해서 마땅한 필연성 없이 그것을 논리적이라고 믿고 있는 사람도 ‘그러니까, 성립된다고! 이제 네 맘대로 생각해!’라는 식의 비논리적인 부분에 의존하고 있다는 것을 나타낸다.

 결국, 논리성이라는 것도 암묵적인 이해에 의해 성립되어 있다. 그것은 증명 불가능한 전제 중의 하나이며 본질적으로 공리와 마찬가지이다. 우리가 행하는 논리적 사고란, 사실 ‘증명 불가능한 신념’ 중 하나인 것이다.

출처 : 야무차, 『철학적 사고로 배우는 과학의 원리』, (Gbrain, 2011), pp.20~23.